Moving Media Grafico Interpretazione

Grafici di introduzione Movimento discussione perché ci sono così tante equazioni in questo libro Perché i fisici non posso essere contenuti con la parola scritta come tutti gli altri Non sarebbe più facile solo per parlare direttamente, invece di occultamento idee dietro crittogrammi matematica moderna notazione matematica è un modo molto compatto codificare le idee. Le equazioni possono facilmente contenere l'equivalente di informazioni diverse frasi. Galileos descrizione di un oggetto che si muove a velocità costante (forse la prima applicazione della matematica al movimento) richiesto una definizione, quattro assiomi, teoremi e sei. Tutte queste relazioni possono ora essere scritto in una singola equazione. Quando si tratta di profondità, niente è meglio di una equazione. Beh, quasi niente. Ripensate alla sezione precedente sulle equazioni del moto. Si dovrebbe ricordare che i tre (o quattro) equazioni presentate in quella sezione erano valide solo per le moto con accelerazione costante lungo una linea retta. Dal momento che, come ho giustamente sottolineato, quotno oggetto ha mai viaggiato in linea retta con accelerazione costante in qualsiasi parte dell'universo in qualsiasi timequot queste equazioni sono solo approssimativamente vera, solo una volta ogni tanto. Le equazioni sono grandi per descrivere situazioni idealizzate, ma essi non sempre tagliato. A volte è necessario una foto per mostrare che cosa sta succedendo 8212 un quadro matematico chiamato un grafico. I grafici sono spesso il modo migliore per trasmettere descrizioni di eventi del mondo reale in una forma compatta. Grafici del moto sono di diversi tipi a seconda di quale delle grandezze cinematiche (tempo, spostamento, velocità, accelerazione) sono assegnati alla quale asse. spostamento-tempo Iniziamo disegnando alcuni esempi di movimento a velocità costante. Tre diverse curve sono inclusi sul grafico a destra, ciascuno con uno spostamento iniziale di zero. Si noti innanzitutto che i grafici sono tutti diritto. (Qualsiasi tipo di linea tracciata su un grafico è chiamato curva. Anche una linea retta è chiamata una curva in matematica.) Questo è prevedibile data la natura lineare dell'equazione appropriata. (La variabile indipendente di una funzione lineare viene sollevata non superiore alla prima accensione.) Comparare l'equazione spostamento-tempo per velocità costante con la classica equazione pendenza-intercetta insegnato in algebra introduttiva. Così velocità corrisponde alla pendenza e spostamento iniziale per l'intercetta sull'asse verticale (comunemente pensato come asse quotyquot). Poiché ciascuno di questi grafici ha la sua intercetta all'origine, ciascuno di questi oggetti aveva lo stesso spostamento iniziale. Questo grafico potrebbe rappresentare una corsa di qualche tipo in cui i concorrenti sono stati tutti allineati sulla linea di partenza (anche se, a queste velocità deve essere stata una corsa tra tartarughe). Se fosse una gara, poi i concorrenti erano già in movimento quando è iniziata la gara, dal momento che ogni curva ha un non-zero pista alla partenza. Si noti che la posizione iniziale è zero non implica necessariamente che la velocità iniziale è zero. L'altezza di una curva non ha nulla a sua pendenza. Su uno spostamento-tempo pendenza del grafico è uguale velocità. l'intercetta quotyquot uguale lo spostamento iniziale. quando due curve coincidono, i due oggetti hanno lo stesso spostamento in quel momento. In contrasto con gli esempi precedenti, lascia il grafico lo spostamento di un oggetto con una costante diversa da zero accelerazione, partendo dal resto all'origine. La differenza principale tra questa curva e quelli sul grafico precedente è che questa curva effettivamente curve. La relazione tra lo spostamento e il tempo è quadratica quando l'accelerazione è costante e quindi questa curva è una parabola. (La variabile di una funzione quadratica è sollevata non superiore alla seconda potenza.) Come esercizio, consente di calcolare l'accelerazione di questo oggetto dal suo grafico. Esso intercetta l'origine, quindi il suo spostamento iniziale è zero, l'esempio indica che la velocità iniziale è zero, e il grafico mostra che l'oggetto ha percorso 9 m in 10 s. Questi numeri possono essere inseriti nell'equazione. Quando un grafico spostamento-tempo è curvo, non è possibile calcolare la velocità dalla sua pendenza. Slope è una proprietà di sole linee rette. Tale doesnt oggetto avere una velocità perché non ha una pendenza. Le parole quotthequot e quotaquot sono sottolineati qui per sottolineare l'idea che non esiste un unico velocità in queste circostanze. La velocità di tale oggetto deve cambiare. La sua accelerazione. Su un grafico spostamento-tempo rette implicano velocità costante. linee curve implicano accelerazione. un oggetto in fase di accelerazione costante traccia una porzione di una parabola. Anche se il nostro ipotetico oggetto non ha solo la velocità, ma ancora non hanno una velocità media e una raccolta continua di velocità istantanee. La velocità media di qualsiasi oggetto può essere ottenuta dividendo la cilindrata totale per il tempo totale. Questo è lo stesso come il calcolo della pendenza della linea retta che collega il primo e l'ultimo punto della curva come mostrato nel diagramma a destra. In questo esempio astratto, la velocità media del l'oggetto era come i punti finali della linea di velocità media si avvicinano insieme, diventano un indicatore migliore della velocità reale. Quando i due punti coincidono, la linea è tangente alla curva. Questo processo limite è rappresentato nell'animazione a destra. Su uno spostamento grafico in tempo velocità media è la pendenza della linea retta che collega i punti finali di una curva. velocità istantanea è la pendenza della retta tangente ad una curva in qualsiasi momento. Sette tangenti sono stati aggiunti al nostro grafico spostamento-tempo generica nell'animazione sopra indicato. Si noti che la pendenza sia zero doppio 8212 una volta in cima dell'urto a 3,0 s ed ancora nel fondo del dente a 6.5 s. (L'urto è un massimo locale. Mentre il dente è un minimo locale. Collettivamente tali punti sono noti come estremi locali.) La pendenza di una linea orizzontale è zero, significa che l'oggetto era immobile a quei tempi. Poiché il grafico non è piatta, l'oggetto era solo a riposo per un istante prima di iniziare di nuovo in movimento. Sebbene la sua posizione non cambiava in quel momento, la sua velocità era. Questo è un concetto che molte persone hanno difficoltà con. È possibile essere accelerato e tuttavia non essere in movimento (ma solo per un istante, ovviamente). Si noti anche che la pendenza negativa nell'intervallo tra la protuberanza a 3 s ed il dente a 6.5 s. Alcuni interpretano questo come il movimento in senso inverso, ma è questo il caso in generale Bene, questo è un esempio astratto. La sua non è accompagnato da alcun testo. I grafici contengono un sacco di informazioni, ma senza un titolo o altra forma di descrizione non hanno alcun significato. Che cosa significa questo grafico rappresentare una persona Una macchina Un ascensore un rinoceronte Un asteroide Un granello di polvere tutto quello che possiamo dire è che questo oggetto si muoveva in un primo momento, ha rallentato fino a fermarsi, ha invertito la direzione, si fermò di nuovo, e poi riprese in movimento nel la direzione è iniziato con (qualunque direzione che era). pendenza negativa non significa automaticamente la guida all'indietro, o camminare a sinistra, o cadere. La scelta dei segni è sempre arbitraria. Chi possiamo dire in generale, è che quando la pendenza è negativa, l'oggetto si muove in direzione negativa. Su un grafico spostamento-tempo pendenza positiva implica movimento nella direzione positiva. pendenza negativa implica movimento nella direzione negativa. pendenza zero implica uno stato di riposo. velocità-tempo La cosa più importante da ricordare su grafici velocità-tempo è che sono i grafici velocità-tempo, non grafici-spostamento del tempo. C'è qualcosa su un grafico lineare che rende la gente pensa theyre guardando il percorso di un oggetto. Un principiante errore comune è quello di guardare il grafico a destra e pensare che la linea i v 9,0 ms corrisponde a un oggetto che è quothigherquot rispetto agli altri oggetti. Non penso che in questo modo. È sbagliato. Dont guardare questi grafici e pensare a loro come l'immagine di un oggetto in movimento. Invece, pensare a loro come la registrazione di una velocità oggetti. In questi grafici, mezzi superiori più veloce, non più lontano. La linea ms v 9.0 è più alto perché l'oggetto si muove più velocemente rispetto agli altri. Questi grafici particolari sono tutti orizzontali. La velocità iniziale di ogni oggetto è uguale alla velocità finale è lo stesso di ogni velocità in mezzo. La velocità di ciascuno di questi oggetti è costante durante questo dieci secondo intervallo. In confronto, quando la curva su un grafico velocità-tempo è rettilinea ma non è orizzontale, la velocità cambia. Le tre curve a destra hanno ciascuno una pista diversa. Il grafico con la pendenza più ripida sperimenta il cambiamento più veloce della velocità. Questo oggetto ha la maggiore accelerazione. Confrontare l'equazione velocità-tempo per accelerazione costante con la classica equazione di pendenza-intercetta insegnato in algebra introduttivo. Sette tangenti sono stati aggiunti al nostro grafico velocità-tempo generico nell'animazione mostrato sopra. Si noti che la pendenza sia zero doppio 8212 una volta in cima dell'urto a 3,0 s ed ancora nel fondo del dente a 6.5 s. La pendenza di una linea orizzontale è pari a zero, il che significa che l'oggetto fermato accelerare istantaneamente a quei tempi. L'accelerazione avrebbe potuto essere pari a zero a quei due volte, ma questo non significa che l'oggetto si fermò. Per questo si verifichi, la curva dovrebbe intercettare l'asse orizzontale. Questo è successo solo una volta 8212 all'inizio del grafico. A entrambe le volte quando l'accelerazione era zero, l'oggetto è stato ancora muovendo nella direzione positiva. Si dovrebbe anche notare che il pendio era negativo da 3,0 a 6,5 ​​s s. Durante questo tempo la velocità diminuiva. Questo non è vero in generale, tuttavia. Connessione diminuisce quando la curva torna all'origine. Sopra l'asse orizzontale questa sarebbe una pendenza negativa, ma sotto questa sarebbe una pendenza positiva. L'unica cosa che si può dire di una pendenza negativa su un grafico velocità-tempo è che nel corso di un tale intervallo, la velocità è sempre più negativo (o meno positivo, se si preferisce). Su un grafico velocità-tempo pendenza positiva comporta un aumento della velocità nella direzione positiva. pendenza negativa comporta un aumento della velocità nella direzione negativa. pendenza zero implica movimento con velocità costante. In cinematica, ci sono tre grandezze: lo spostamento, velocità e accelerazione. Dato un grafico di uno di tali quantitativi, è sempre possibile in linea di principio per determinare gli altri due. L'accelerazione è il tasso di tempo di variazione della velocità, in modo che può essere trovato dalla pendenza della tangente alla curva su un grafico velocità-tempo. Ma come potrebbe essere determinato spostamento Consente di esplorare alcuni esempi semplici e quindi derivare il rapporto. Inizia con il semplice grafico velocità-tempo mostrato a destra. (Per semplicità, assumiamo che lo spostamento iniziale è zero.) Ci sono tre intervalli importanti su questo grafico. Durante ogni intervallo, l'accelerazione è costante a tutti i segmenti di linea retta mostrano. Quando l'accelerazione è costante, la velocità media è solo la media dei valori iniziali e finali in un intervallo. 0-4 s: Questo segmento è triangolare. L'area di un triangolo è la metà i tempi di base l'altezza. Essenzialmente, abbiamo appena calcolata l'area del segmento triangolare in questo grafico. La distanza totale percorsa alla fine di questo intervallo è di 16 m 36 m 20 m 72 m Spero da ora che si vede la tendenza. L'area sotto ciascun segmento è la variazione di spostamento dell'oggetto durante quell'intervallo. Questo è vero anche quando l'accelerazione non è costante. Chiunque abbia seguito un corso di calcolo dovrebbe avere conosciuto questo prima di leggere qui (o almeno quando leggono che hanno dovuto dire, quotOh sì, mi ricordo thatquot). La derivata prima dello spostamento rispetto al tempo è la velocità. La derivata di una funzione è la pendenza di una linea tangente alla sua curva in un determinato punto. L'operazione inversa del derivato è chiamato integrale. L'integrale di una funzione è l'area cumulativa tra la curva e l'asse orizzontale su un certo intervallo. Questa relazione inversa tra le azioni della derivata (pendenza) e integrale (area) è così importante che la sua chiamato il teorema fondamentale del calcolo. Ciò significa che la sua un rapporto importante. Imparare che il suo quotfundamentalquot. È havent visto l'ultimo di esso. In un grafico velocità-tempo l'area sotto la curva coincide con la variazione di cilindrata. Accelerazione tempo Il grafico di accelerazione-tempo di qualsiasi oggetto che viaggia con velocità costante è uguale. Questo è vero a prescindere dal velocità dell'oggetto. Un aereo in volo in un costante 600 mph (270 ms), una passeggiata bradipo con una velocità costante 1 mph (0,4 ms), e un teledipendente giace immobile davanti alla TV per ore avranno tutti gli stessi grafici accelerazione in tempo 8212 una linea collineare orizzontale con l'asse orizzontale. Quello è perché la velocità di ciascuno di questi oggetti è costante. Theyre non accelerando. I loro accelerazioni sono pari a zero. Come con grafici velocità-tempo, la cosa importante da ricordare è che l'altezza sopra l'asse orizzontale doesnt corrisponde alla posizione o la velocità, corrisponde all'accelerazione. Se inciampare e cadere sulla strada per la scuola, l'accelerazione verso il suolo è maggiore di esperienza youd in tutti, ma un paio di vetture ad alte prestazioni con la quotpedal al metalquot. Accelerazione e velocità sono diverse quantità. Andare veloce non implica accelerando rapidamente. Le due grandezze sono indipendenti l'uno dall'altro. Una grande accelerazione corrisponde ad un rapido cambio di velocità, ma non ha nulla a valori della velocità stessa. Quando l'accelerazione è costante, la curva di accelerazione-tempo è una linea orizzontale. La velocità di variazione dell'accelerazione nel tempo è una quantità insignificante quindi la pendenza della curva in questo grafico è insignificante. L'accelerazione non deve essere costante, ma il tasso momento di cambiamento di questo numero non ha nome. In superficie, l'unica informazione si può ricavare da un grafico di accelerazione-tempo è l'accelerazione in un dato momento. Su una accelerazione-tempo pendenza del grafico è privo di significato. l'intercetta quotyquot uguale alla accelerazione iniziale. quando due curve coincidono, i due oggetti hanno la stessa accelerazione in quel momento. un oggetto in fase di accelerazione costante traccia una linea orizzontale. pendenza zero implica moto con accelerazione costante. L'accelerazione è il tasso di variazione della velocità con il tempo. Trasformare un grafico velocità-tempo di un grafico di accelerazione-tempo significa calcolando la pendenza di una linea tangente alla curva in qualsiasi punto. (In calcolo, questo è chiamato trovare il derivato.) Il processo inverso comporta calcolare l'area sotto la curva cumulativa. (In calcolo, questo è chiamato trovare l'integrale.) Questo numero è quindi la variazione di valore su un grafico velocità-tempo. Dato una velocità iniziale pari a zero (e supponendo che verso il basso è positivo), la velocità finale della persona che cade nel grafico a destra è grafici di interpretazione MotionEconomic delle operazioni di calcolo - univariata Slope tasso marginale di variazione Un modo molto chiaro a vedere come calcolo ci aiuta a interpretare le informazioni economiche e le relazioni è quello di confrontare le funzioni totali, medi e marginali. Prendiamo, per esempio, una funzione di costo totale, TC: Per un dato valore di Q, dicono Q10, siamo in grado di interpretare questa funzione come noi che dice: quando produciamo 10 unità di questo bene, il costo totale è di 190. Ci piacerebbe per saperne di più su come i costi si evolvono nel corso del ciclo di produzione, così lascia calcolare il costo medio, che è il costo totale diviso per il numero di unità prodotte, o Q: quindi, quando produciamo 10 unità di questo bene, il costo medio per unità è 19. Questo è un po 'ingannevole, tuttavia, perché noi non ancora sapere come si evolvono i costi o cambiamento come produciamo. Ad esempio, la prima unità (Q 1) costo 10 per produrre. Ovviamente, se la media finisce per essere 19, e la prima unità costa 10, quindi il costo di produzione di una unità deve essere cambiando produciamo diverse unità. In alternativa, per essere più tecnici, la variazione del costo totale non è la stessa ogni volta che si cambia D. Consente di definire questo cambiamento nel costo totale per una data variazione nella Q come il costo marginale. Suona familiare La pendenza è definito come il tasso di variazione della variabile Y (costo totale, in questo caso) per una data variazione nella variabile X (Q, o unità del bene). Pertanto, prendendo la derivata prima, o calcolare la formula per la pendenza può determinare il costo marginale di un bene particolare. Che cosa circa il cambiamento di costo marginale In questo modo, non si può che valutare i costi ad un livello particolare, ma possiamo vedere come i nostri costi marginali stanno cambiando come aumentiamo o diminuiamo il nostro livello di produzione. Grazie al nostro background calcolo, la sua evidente che la variazione dei costi marginali o cambiamenti di pendenza può essere calcolato prendendo la derivata seconda. Queste tre equazioni ora ci danno una notevole quantità di informazioni relative al processo di costo, in un formato molto chiaro. Ad esempio, calcolare il costo marginale della produzione dell'unità 100 ° di questo bene. Ora, supponiamo che il vostro capo vi vuole prevedere i costi per l'unità 101 °. È possibile ricalcolare il costo marginale, oppure si può notare che la derivata seconda indica che il costo marginale dovrebbe cambiare da un aumento di due, per ogni aumento di una unità in D. Quindi, per riassumere, si può iniziare con una funzione , prendere le derivate prime e seconde e hanno una grande quantità di informazioni riguardanti la relazione tra le variabili, compresi i valori totali, cambiamenti nei valori totali, ei cambiamenti nei valori marginali. Caratteristiche dei massimi relativa e assoluta e minimi Il primo e secondo derivati ​​possono essere utilizzati anche per cercare punti di massimo e minimo di una funzione. Ad esempio, gli obiettivi economici potrebbero includere la massimizzazione del profitto, riducendo al minimo costo, o massimizzare l'utilità, tra gli altri. Per comprendere le caratteristiche dei punti ottimali, iniziare con caratteristiche della funzione stessa. Una funzione, in un determinato punto, viene definito come concava se la funzione si trova sotto la linea tangente vicino a quel punto. Per chiarire, immaginare un grafico di una parabola che si apre verso il basso. Ora, prendere in considerazione il punto al vertice della parabola. Per definizione, una linea tangente a quel punto sarebbe una linea orizzontale. Il suo chiaro che il grafico della sezione superiore della parabola, in prossimità del punto, tutto si trova sotto la linea tangente, quindi, il grafico è concava nella zona di quel punto. Nota quanta cura viene presa per limitare la discussione della concavità alla parte della funzione vicino al punto considerato. Supponiamo che la funzione è un polinomio di ordine superiore, che prende la forma di una curva con 2 o più punti di svolta. Sarebbe facile immaginare una funzione in cui parte era al di sotto della linea di tangente orizzontale, si voltò di nuovo, e tornò fino oltre la linea. La definizione di concavità si riferisce solo alla parte della funzione in prossimità del punto in cui la tangente tocca la curva, isnt richiesto il possesso ovunque sulla curva. Si consideri la linea tangente stessa. Ricordiamo dalla sezione passato su funzioni lineari che la pendenza di una linea o funzione orizzontale è uguale a zero. Pertanto, la pendenza nel punto superiore o di svolta di questa funzione concava deve essere zero. Un altro modo di vedere questo è considerare il grafico a sinistra del punto di svolta. Si noti che la funzione è inclinata positivamente, cioè ha una pendenza maggiore di zero. La sezione del grafico a destra del punto di svolta è inclinata verso il basso, e ha pendenza negativa, o una pendenza minore di zero. Come si guarda il grafico da sinistra a destra, si può vedere che la pendenza è prima positiva, diventa un numero minore positivo più ci si avvicina al punto di svolta, è negativo alla destra del punto di svolta, e diventa un negativo più grande il numero più ci si sposta da un punto di svolta. Poiché questa è una funzione continua, ci deve essere un punto in cui la pendenza attraversa da positivo a negativo. In altre parole, per un istante, la pendenza deve essere zero. Questo punto abbiamo già identificato come il punto di svolta. C'è un modo molto più semplice per identificare cosa sta succedendo, però. Ricordiamo che derivate seconde forniscono informazioni circa il cambio di pendenza. Possiamo usare che in combinazione con la derivata prima in punti crescenti di x (come ci si sposta da sinistra a destra sul grafico) per determinare l'identificazione caratteristiche di funzioni. Ad esempio, guarda la seguente funzione e il suo grafico: Si noti che una seconda derivata negativa significa che la derivata prima è sempre decrescente per una data variazione (positiva) in x, cioè al crescere di x, (sempre lettura del grafico da sinistra a destra ). Se il primo derivato è sempre in calo, e sappiamo che passa attraverso lo zero al punto di svolta, allora deve essere il caso che la funzione è concava nel quartiere della svolta - i. e. la svolta è un punto di massimo. Per apprezzare appieno questo risultato, lascia considerare l'opposto - una funzione convessa, cioè una funzione che è sopra la linea tangente al punto di svolta, nella zona di quel punto. Moving sinistra a destra, si noti che la pendenza è negativa, passa attraverso lo zero al punto di svolta, allora diventa positiva. Pertanto, ci si aspetterebbe che la funzione sottostante per essere uno in cui la derivata prima è zero al punto di svolta, con una seconda derivata positiva nelle vicinanze del punto di svolta, indicando una pendenza crescente. Queste due condizioni sono caratteristici di una funzione con un punto di minimo. Non solo queste caratteristiche del primo e del secondo derivate descrivono le funzioni con i punti di massimo e minimo, ma sono sufficienti a dimostrare che i punti in esame figurano punti di massimo o minimo. Consente di esaminare le caratteristiche: Un minimo relativo al punto xa avrà le derivate f (a) 0 e f (a) gt 0. avrà un massimo relativo al punto xa derivati ​​f (a) 0 e f (a) lt 0 . Note, il termine relativo è utilizzato per indicare un punto di massimo o di minimo in prossimità del punto (xa). Solo se si può dimostrare che una e una sola max o min esiste può essere considerato il punto ottimale assoluto. Per i nostri scopi, questo si verifica solo se la derivata seconda è una costante, cioè la funzione passa attraverso il punto di svolta solo una volta, e quindi ha un solo massimo o minimo. ottimizzazione vincolata Ora che possiamo usare differenziazione per raccogliere così tante informazioni sulle caratteristiche delle funzioni, l'ottimizzazione delle funzioni economiche sarà molto semplice. Data una continua, funzione differenziabile, attenersi alla seguente procedura per trovare il massimo relativo o minimo di una funzione: 1. Prendere la prima derivata di una funzione e di trovare la funzione per la pendenza. 2. Impostare dydx pari a zero, e risolvere per x per ottenere il punto oi punti critici. Questo è il necessario, condizione del primo ordine. 3. Prendere la seconda derivata della funzione originaria. 4. Sostituire la x dal passaggio 2 in derivata seconda e risolvere, con particolare attenzione al segno della derivata seconda. Questo è anche noto come valutare la seconda derivata nel punto (s) critica, e fornisce la sufficiente, secondo ordine. 5. Utilizzare le seguenti caratteristiche per determinare se la funzione valutata al punto critico o di punti è un massimo relativo o un minimo: Probabilmente sempre praticare su funzioni in cui esiste il massimo o minimo, ma di tenere presente che si farà pubblico la politica nel mondo reale. Solo perché siete alla ricerca di un quantitativo che consente di ottimizzare il profitto o il livello di produzione che minimizza non costa significa che esiste realmente. Ecco perché hai sempre bisogno di seguire tutte le fasi e confermare tutti i risultati con entrambe le condizioni necessarie e sufficienti. (Soprattutto facendo in modo che il vostro punto ottimale è il tipo di cui avete bisogno, vale a dire un massimo se sei massimizzare e un minimo se siete minimizzando) Considerare i seguenti esempi. Esempio 1: Trovare i valori critici della seguente funzione e test per determinare se la funzione è convessa o concava e presenta un massimo relativo o minimo: Soluzione 1: Prendere la derivata prima e semplificare, e quindi risolvere per il valore critico. Questo è il valore di x in cui la pendenza della funzione è uguale a zero: valutare la funzione al punto critico sopra determinato (questo non è un passo necessario, ma per la pratica e per dare contesto ben risolto per esso): Ora, determinare la derivata seconda e valutare in corrispondenza del punto critico: la derivata seconda è sempre negativo, indipendentemente dal valore di x. Questo ci dà due informazioni. Primo, che la funzione ha un massimo relativo (cioè è concava), e la seconda, che la costante derivata seconda implica un singolo punto di svolta, e quindi il massimo relativo è anche un massimo assoluto. Esempio 2: Dato il seguente funzione di costo totale, determinare il livello di produzione che minimizza il costo medio e il livello che minimizza il costo marginale: Soluzione 2: Convertire la funzione di costo totale in una funzione di costo medio dividendo per D: Ora, per ridurre al minimo la funzione di costo medio, seguire i passaggi sopra elencati. Iniziate prendendo la derivata prima, l'impostazione è uguale a zero, e risolvendo per i punti critici D: Quando Q 12, la funzione di costo medio raggiunge un optima relativo ora ci prova per concavità prendendo la derivata seconda del costo medio: Nota la derivata seconda è positivo per tutti i valori di Q, incluso il punto Q critica 12, quindi dalla seconda prova ordine, la funzione ha un minimo relativo al punto critico. Poiché la derivata seconda è costante, il minimo relativo è anche un minimo assoluto. Si noti che siamo stati in grado di dimostrare costo medio è ridotto al minimo, quando Q è 12, senza la necessità di stabilire in realtà il costo medio. Ora, per ridurre al minimo il costo marginale. Dalla funzione costo totale iniziale, prendere la derivata prima di ottenere la funzione della pendenza, o velocità di variazione del costo totale per una data variazione in Q, noto anche come costo marginale. Ora, seguire la procedura per ridurre al minimo la funzione di costo marginale. Anche se MC è la funzione per la pendenza del costo totale, ignora che e trattarla come una funzione stand-alone, e prendere le prime e seconde derivate secondo le fasi di ottimizzazione. Quando Q è uguale 8, la funzione di MC è ottimizzata. Prova di massima o minima: La derivata seconda MC è positivo per tutti i valori di Q, quindi la funzione MC è convessa, ed è ad un minimo relativo quando q è uguale a 8. Esempio 3: Trovare i punti ottimali della funzione di profitto e determinare quale livello di produzione Q sarà massimizzare il profitto. Iniziate prendendo derivate prime e seconde: Impostare la derivata prima pari a zero e risolvere i punti critici: Usare la tecnica un'equazione quadratica per risolvere l'equazione di cui sopra. Si noti che ci sono 2 punti critici, ma dal punto di vista economico, solo uno è disponibile a noi come una soluzione al nostro problema, dal momento che non possiamo produrre una quantità negativa. Valutare la derivata seconda in Q è uguale a 24 per determinare la concavità. La derivata seconda è minore di zero, il che significa che la nostra funzione è concava e ha un massimo relativo quando Q è uguale 24. Un'ultima nota: il titolo di questa sezione era ottimizzazione libera. La parola non vincolata si riferisce al fatto che abbiamo messo vincoli sulle relazioni funzionali che stavamo ottimizzare. In altre parole, abbiamo ipotizzato che qualsiasi livello della variabile x è a nostra disposizione, con l'eccezione mondo reale dei valori negativi di grandezze fisiche (richiamo Q -40 è stato escluso). Naturalmente, questo non è realistico, e come i nostri modelli diventano più realistica nella sezione multivariata, si aggiungerà vincoli ai nostri problemi di ottimizzazione. Non vi è alcun punto nel fare ottimizzazione vincolata nei processi univariata, perché è sempre più facile per incorporare il vincolo in una delle equazioni e utilizzare lo stesso processo descritto in questo section.100 anni di Borsa Storia (grafico log) In tempi di turbolenze , come ad esempio una crisi finanziaria, cerco uno di quei grandi grafici con una freccia che dice, 8220You sono here.8221 E 'in questo spirito che offro il grafico seguente log-lungo termine che riassume più di 100 anni di DJIA (Dow Jones Industrial Average) la storia delle prestazioni. Io rinviare la maggior parte della mia analisi fino a tardi, e per questo post si basano principalmente su ciò che uno dei miei professori statistiche utilizzate per chiamare 8220interocular trauma.8221 Dow Jones di 100 anni di storia del mercato azionario Grafico Dow Performance Index Grafico del mercato azionario di 100 anni di storia Dal 1900 è alternato tra emozione e il disinteresse sopra è un grafico del mercato azionario prestazioni (Dow Jones) dal 1900 (clicca sull'immagine per ingrandirla). Essa mostra prezzi di chiusura di fine anno fino al 2012. (Vedi ritorni annuali per un grafico a barre dei ritorni ogni anno.) Mentre alcuni descrivono questa storia come una costante tendenza al rialzo a lungo termine, a me sembra mostrare periodi alternati di eccitazione e disinteresse. Ad esempio, i periodi da 821.733 a 821.765, e 821.782-821.799 trattasse di periodi di eccitazione. Da 821.733-821.765 il rendimento medio era di circa 7 euro all'anno, più i dividendi - per un totale di circa 10. Da 821.782-821.799 il rendimento medio era di circa 15 euro all'anno, sempre più i dividendi 8211 anche se i dividendi negli ultimi decenni erano significativamente più piccola di erano nei decenni precedenti. I lunghi periodi piatti D'altra parte, 1905 stretta di 96 non è stato definitivamente eclissata fino 28 anni dopo - 1933 il 1965 fine del 969 non è stato definitivamente oscurato fino a 17 anni dopo - 1982. Io uso la parola 8220disinterest8221 per caratterizzare questi lunghi periodi piatte. (Nota: questo è un grafico di registro Se non si ha familiarità con loro, vedere sul mercato stock registro Grafici..) A lungo termine, ci si aspetterebbe che la performance del mercato azionario dovrebbe approssimare l'andamento delle attività sottostanti. Pertanto, una interpretazione evidente del grafico è che il mercato azionario ottiene periodicamente davanti a sé, aumentando più velocemente di quanto le aziende sottostanti, e poi deve attendere che il valore 8220real8221 delle attività sottostanti per recuperare il ritardo durante i lunghi, periodi piatte di 8220disinterest 0,8221 Se questo è il caso, si potrebbe essere in un altro uno di quei periodi di 8220disinterest8221 - anche se quando you8217re in realtà in uno di quei periodi, si possono trovare altre parole più descriptive8230. Nota: Il grafico e la discussione di cui sopra ignora l'impatto dell'inflazione. Per vedere i lunghi periodi piatte al netto dell'inflazione, vedi 100 anni di mercato aggiustati per l'inflazione della Storia. Attenzione: non per i deboli di cuore l'aggiornamento mensile, amplificatore L'aggiunta del 25-Year media mobile come un livello di supporto Il marzo 2013 prestazioni Borsa post contiene un riepilogo del mese più recente e anno-to-date, oltre a confronti di importanti pietre miliari come massimi storici e bassi di crash. Inoltre, include la proiezione più recente di rendimenti di mercato 10 anni. La media mobile a 25 anni può essere un'utile aggiunta al grafico sopra. Come discusso nel Dow 25-Year Moving History media. il mercato è molto raramente sceso sotto la sua media mobile a 25 anni. Cioè, storicamente questa media mobile è stato un livello di supporto affidabile durante i mercati orso secolare. Questo grafico è aggiornato frequentemente, a seconda dei casi. Oh, che è trauma8221 8220interocular Era la fine del modo in cui il professor Harry Roberts8217 di dire 8220it ti colpisce proprio tra il eyes.8221 Lettura consigliata: Altri posti prospettiva a lungo termine 100 anni di Treasury Bond tassi di interesse. Simile prospettiva sui tassi di interesse. Aggiustati per l'inflazione Borsa Storia. Come questo post, ma al netto dell'inflazione. E, un'altra prospettiva illuminante sui lunghi periodi piatte. 100 anni di storia. Housing Prezzo Grafico dell'indice dei prezzi delle abitazioni dal 1900. Confrontando Housing vs. Borsa crescita. mostra crescita a lungo termine del mercato azionario dei dividendi (il grafico sopra esclude i dividendi). Dow annuo Storia di ritorno. grafico a barre del rendimento totale annuo (ossia inclusi i dividendi) a partire 1929. Dow PriceEarnings Rapporto di Storia Dal 1929 - Grafico annuo. prospettiva simile sul rapporto del PE. guarda più da vicino le bolle, alternando excitementdisinterest, amp lunga piatta periodi Grafico del 1929 Crollo della Borsa per uno sguardo più da vicino a 1929-1932. I 25 migliori amplificatori Peggiore annuali ritorni di Borsa. uno sguardo più da vicino i rendimenti di 1 anno. Prendendo in prestito ritorni dal futuro. il prezzo di straordinaria performance attuale può essere diminuita rendimenti futuri. Dow Index aggiustati per l'inflazione Chiudi Storia. Impatto della Regolazione inflazione sui lunghi periodi piatte. La composizione dei ritorni di 10 anni. ulteriore prospettiva sul eccitazione alternata e fenomeno disinteresse. Esuberanza irrazionale. Robert Shiller8217s libro discutere le cause di bolle, e presagendo lo scoppio della bolla tecnologica nel 2000. Whos paura di un mercato laterale. Interessanti prospettive su lunghi periodi piatti da Morningstar. Per gli altri posti popolari, vedere la barra laterale a sinistra oa l'intestazione del blog. Dati e calcoli Per coloro che desiderano eseguire ulteriori analisi, vedere questo post per un collegamento al mio Dow Jones dati di chiusura annuale e i calcoli associati. Il foglio di calcolo calcolerà automaticamente il tasso di crescita Dows tra due anni si ingresso (ritorno del mercato azionario per esempio la media tra il 1982 e il 1999, inclusi i dividendi). Copyright 169 2011. Ultima modifica: 3.302.013 Condividi questo articolo Salva su Delicious Per condividere via Facebook, Twitter, ecc vedere i link qui sotto Anon, i dati vengono da un foglio di calcolo che ho creato (manualmente) un po 'di tempo nel 1990. I39m praticamente certo che i dati originali (fino al 1989) è venuto da Barron39s Finanza amp Manuale per gli investimenti (terza edizione). I dati da allora è da una combinazione di Barron39s, Morningstar e il giornale locale da dove mai vivevo in quel momento. I39m indovinando che doesn39t aiuto molto. Così, I39ll vedere se riesco a capire come per pubblicare un foglio di calcolo. Si può prendere un po '. La banca centrale incautamente progettato un enorme bolla di formare a partire dagli 198039s, così grande che supera di gran lunga la bolla 192039s. Chiunque pensi we39re uscire da questa ok necessità di ri esaminare i fatti. Tutti i tentativi in ​​corso tali da re gonfiare questa bolla, come contribuenti agevolati auto, casa e elettrodomestici vendite accelererà solo il giorno in cui gli ex Stati Uniti è alla mercé del mondo. Sono d'accordo con la tua analisi fino al punto eravamo siamo ora. Tuttavia, il problema è che stiamo spedendo posti di lavoro all'estero ad un ritmo allarmante. Quello che prima le aziende americane sono ora multinazionali, e le aziende hanno spostato le operazioni in Cina e altrove. Nel lungo termine, come questa tendenza si espande, gli Stati Uniti dovrà affrontare la deflazione come valori declinano e salari cadono. Allo stesso tempo, il governo americano ha rimosso la maggior parte delle garanzie poste in essere dopo la Grande Depressione, e, quindi, ci ha messo in una posizione per le banche e le case di brokeraggio a fallire. A meno che i regolamenti rendendo banche, banche e limitare le loro dimensioni e la funzione, e case di brokeraggio non sono autorizzati ad essere le banche, il nostro sistema finanziario non sarà il suono. Molto apprezza la tua analisi qui. La sua ormai più di un anno dopo, come pensi che la situazione è cambiata non I39m sicuro che ho capito la tua domanda, ma I39ll cerco di rispondere in ogni caso. Il valore di guardare i grafici di 100 anni è che un anno supplementare doesn39t cambia molto. That39s il vantaggio di guardare la storia da questa ampia prospettiva. Quando aggiorno il grafico di 100 anni, alla fine dell'anno, per me è won39t aspetto molto diverso dal modo in cui sembrava un anno fa. Come risultato, la mia interpretazione è probabile che sia lo stesso - I39ll ancora vedere la storia del mercato azionario come costituito da periodi di eccitazione seguita da quotlong (relativamente) periodsquot piatta dove le aziende sottostanti devono catturare fino a un mercato azionario in precedenza euforico. Quindi, non sarei sorpreso se anni da oggi un'anima come la pensano a fare un'analisi simile ha raggiunto una conclusione simile. In questo senso, la situazione è invariata. Ma, capire che cosa quotflatquot sembra col senno di poi doesn39t necessariamente sentire in quel modo quando you39re nel mezzo di esso. Ad esempio, 1973-1974 furono anni terribili per il mercato azionario 1975-1976 erano molto bello. Col senno di poi, prendendo la grande vista, tutti quegli anni facevano parte di un lungo periodo piatta. Così, anche in questi periodi piatti ci sono opportunità per fare, o perdere, un sacco di soldi nel breve periodo. Da questo punto di vista, it39s chiaro che la situazione è cambiata in che investire un anno fa, avrebbe prodotto risultati migliori rispetto investire ora. I39m indovinare si sapeva già che.